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%整除习题
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		\begin{Exercise}
			证明，若$2 \mid n,5 \mid n,7\mid n$，那么$70 \mid n$.
		\end{Exercise}
		\jd{
			$2 \mid n,5 \mid n,7\mid n \Rightarrow lcm(2,5,7) \mid  m \Rightarrow 70 \mid  n$
		}
		\begin{Exercise}
			证明任意三个连续的正整数的乘积都被6整除。
		\end{Exercise}
		\jd{
			$m(m+1)(m+2)$\par
			$m=1,1 \times 2 \times 3 = 6$,成立。\par
			设m=k也成立。\par
			$m=k+1,(k+1)(k+2)(k+3)=(k+1)(k+2)k+3(k+1)(k+2)$，可见式子的第一部分可被6整除，要想证明$3(k+1)(k+2)$可被6整除，可证明$(k+1)(k+2)$可被2整除,不管k是奇数还是偶数，两个成绩项一定有个偶数项，所以可以被2整除。
		}
		\begin{Exercise}
			证明每个奇数的平方都具有8k+1的形式。
		\end{Exercise}
		\jd{
			奇数可以写为$2k+1$,奇数的平凡是$(2k+1)^2 = 4k^2+4k+1=4k(k+1)+1$,可知$k(k+1)$是偶数，所以可以写成2m的形式，$4k(k+1)+1$可以写成$8m+1$形式。
		}
		\begin{Exercise}
			求如下整数对的最大公因子，并写出求解过程。\par
			(1)(55,85) \hspace{1cm}  (2)(202,282) \hspace{1cm} (3)(666,1414) \hspace{1cm} (4)(20785,44350)
		\end{Exercise}
		\jd{$gcd(55,85)=5,gcd(55,85)=2,gcd(666,1414)=2,gcd(20785,44350)=5$，下面给出第一对数的实际计算过程：\par
			$
			85=55 \times 1 + 30\\
			55=30 \times 1 +25\\
			30=25 \times 1 +5\\
			25=5 \times 5\\
			gcd(55,85)=5
			$
		}
		\begin{Exercise}
			求如下整数对的最小公倍数，并写出求解过程。\par
			(1)(231,732) \hspace{1cm}  (2)(-871,728) 
		\end{Exercise}
		\jd{
			先求$gcd(231,732),lcm(231,732)=(231 \times 732) \div gcd(231,732)$，计算结果如下：\\
			$lcm(231,732)=56364,lcm(-871,728)=48776 $
		}
		\begin{Exercise}
			求以下整数的标准分解式，并写出求解过程。\par
			(1)36 \hspace{1cm}(2)69 \hspace{1cm}(3)200 \hspace{1cm}(4)289 \hspace{1cm}
		\end{Exercise}
		\jd{
			利用小于次数的素数去依次除次数，可以整除，则找到一个素因子，依次可以找到所有素因子。分解结果如下(sagemath factor)：\\
			$36=2^2 * 3^2,69=3*23,200=2^3 * 5^2,289=17^2$
		}
		\begin{Exercise}
			求以下整数的标准分解式，并写出求解过程。\par
			(1)625 \hspace{1cm}(2)2154 \hspace{1cm}(3)2838 \hspace{1cm}(4)3288 \hspace{1cm}
		\end{Exercise}
		\jd{
			利用小于次数的素数去依次除次数，可以整除，则找到一个素因子，依次可以找到所有素因子。分解结果如下:\par
			$625=5^4,2154=2 * 3 * 359,2838=2 * 3 * 11 * 43,3288=2^3 * 3 * 137$
		}